台儿庄古城东门适合游玩的月份主要取决于游客的偏好和天气条件。以下是根据不同季节的特点推荐的游玩月份：
春季（3月至5月）：春季是台儿庄古城的一个非常适合游玩的季节。这个时候，气候温暖宜人，古城内的桃花、樱花、杏花等花卉竞相开放，游客可以享受到繁花似锦的景色。此外，春季人流量相对较少，可以更加宁静地欣赏古城的美景。
夏季（6月至8月）：夏季是台儿庄古城的旅游旺季，气候较为炎热，但古城内有浓荫和清凉的河流，游客可以在河边避暑。如果喜欢热闹的旅游氛围，这个季节是不错的选择。但需要注意做好防晒和防暑降温措施。
秋季（9月至11月）：秋季是台儿庄古城的另一个宜人季节，气候凉爽，适合户外活动。古城周边的稻田成熟，金黄一片，给人一种宁静和美丽的感觉。此外，秋季的游客相对较少，可以更加舒适地游览古城。
冬季（12月至次年2月）：冬季的台儿庄古城相对安静，可以感受到古城的宁静与祥和。不过，气温较低，需要穿着保暖的衣物。12月份的台儿庄古城相对较少雨水，风力一般较小，适合游览。
综上所述，台儿庄古城东门适合游玩的月份主要是春季和秋季，这两个季节气候宜人，游客可以更好地欣赏古城的美景。夏季和冬季虽然也有其独特的魅力，但需要注意天气和穿着上的调整。