台儿庄古城位于山东省，与济南相邻，两地都属于温带季风气候，四季分明。根据您的需求，以下是对台儿庄古城和济南旅游最佳季节的分析：
台儿庄古城最佳旅游季节
春季（3月至5月）：春季是台儿庄古城最美的季节之一，尤其是四月和五月，气温适中，百花盛开，游客可以欣赏到樱花、桃花等花卉，同时还能参加古城举办的传统文化活动。
秋季（9月至11月）：秋季的台儿庄古城气候宜人，天空湛蓝，气温适中，树叶逐渐变黄，古城内景色如画，是游览古城的绝佳时节。
冬季（12月至次年2月）：虽然冬季较为寒冷，但游客可以感受到古城的宁静与祥和，尤其在节假日，可以体验到传统的庙会和文化活动。
济南最佳旅游季节
春季（3月至5月）：春季是济南最美的季节之一，尤其是4月，此时趵突泉畔的樱花盛开，游客可以欣赏到美丽的樱花景致。
秋季（9月至11月）：秋季的济南气候宜人，天气晴朗，是游览济南的名胜古迹、湖泊风光的好时机。
冬季（12月至次年2月）：冬季的济南虽然寒冷，但可以体验冬季的湖面结冰、雪景等特色景观。
综合建议
如果您计划同时游览台儿庄古城和济南，建议选择春季或秋季，这两个季节两个城市的气候都较为宜人，景色也最为迷人。春季可以欣赏到两地的花卉和古城内的传统文化活动，秋季则可以享受秋高气爽的气候和美丽的自然风光。此外，这两个季节的游客相对较少，可以更加舒适地游览。