根据您提供的参考信息，在刘公岛岛上的住宿选择中，并没有明确提到具体的酒店名称带有健身房设施。不过，根据刘公岛住宿攻略中提到的住宿地点，以下是一些可能提供健身房设施的酒店：
刘公岛宾馆：位于刘公岛中心，靠近码头和主要景点，是岛上唯一一家酒店。宾馆设施齐全，提供舒适的住宿环境。虽然没有直接提到健身房，但作为一家设施齐全的酒店，它可能设有健身房。
海滨度假村：位于刘公岛东海岸，靠近海滩，这些度假村通常提供海景客房，并设有餐厅和娱乐设施，如游泳池和健身房。
家庭旅馆：位于刘公岛的居民区，这些家庭旅馆通常提供干净、经济实惠的住宿选择。虽然这类住宿可能不像大型酒店那样设施齐全，但一些家庭旅馆也可能提供基本的健身设施。
为了确保您能够获得准确的健身设施信息，建议您在预订住宿时直接联系酒店，询问是否提供健身房服务，并了解具体的设施和开放时间。这样，您就可以根据个人需求选择合适的住宿地点。