台儿庄古城位于中国山东省枣庄市，是一个具有悠久历史和丰富文化底蕴的旅游目的地。关于最佳的游览时间，一般建议以下月份：
春季（3月至5月）：春天气候宜人，风景优美，此时游客可以欣赏到古城内的花海，是游览的好时节。
秋季（9月至11月）：秋天天气凉爽，不冷不热，是游览古城的最佳季节之一。此时游客可以享受秋高气爽的气候，同时也能看到古城内的五彩斑斓。
虽然这两个季节是游览台儿庄古城的最佳时期，但实际上，古城全年都是开放的，不同月份都有其独特的风景和活动。如果您想要体验古城免费游，以下是一些考虑因素：
免费游活动时间：首先，需要关注台儿庄古城是否有特定的免费游活动，以及活动时间。
天气因素：考虑到台儿庄位于北方，夏季可能会较为炎热，冬季则可能寒冷。如果您不介意这些天气条件，那么可以选择在夏季或冬季游览。
人流量：旅游旺季时（如国庆节、春节等节假日）人流量较大，可能会影响游览体验。
总之，如果您选择在3月至5月或9月至11月游览，通常会有更好的天气和较少的人流。但具体何时去，还需结合免费游活动时间和您个人的时间安排来决定。