台儿庄古城位于山东省枣庄市，是一处著名的历史文化名城。关于最佳游玩时间，以下是一些参考建议：
春季：从三月到五月，春季的台儿庄古城气候温暖宜人，自然风光十分迷人。此时古城内的桃花、樱花、杏花等花卉竞相开放，整个古城犹如一个大花园，非常适合游客观赏。春季人流量相对较少，游客可以更加悠闲地欣赏古城美景。
秋季：从九月到十一月，秋季的台儿庄古城气候凉爽，是又一个游玩的好季节。此时古城周边的稻田成熟，金黄一片，给人一种宁静和美丽的感觉。秋季游客相对较少，游玩体验更为舒适。
冬季：虽然冬季的台儿庄古城可能相对较冷，但古城内的古建筑和古街道在雪景的映衬下，也别有一番风味。不过冬季游客相对较少，且部分景点可能会因天气原因开放时间有限。
夏季：夏季是台儿庄古城的旅游旺季，从六月到八月，气温较高，游客众多。夏季可以体验古城的热闹氛围，参加各种文化活动和表演，但需要注意防晒和防暑降温。
至于免费游玩的时间，根据提供的信息，台儿庄古城曾有一段时间免费开放，但具体免费开放的时间可能因年份和活动而有所不同。建议关注台儿庄古城的官方公告或旅游信息，以获取最新的免费开放时间。