台儿庄古城免费游适合的月份主要取决于您对旅游体验的偏好，包括气候条件、人流量和活动安排等因素。以下是根据不同季节的特点推荐的月份：
春季（3月-5月）：春季是台儿庄古城赏花的好时节，尤其是4月和5月，樱花、桃花等各种花卉盛开，景色宜人。此时气候温暖，适合户外活动，人流量适中，是游览台儿庄古城的好时机。
秋季（9月-11月）：秋季的台儿庄古城气候凉爽，天空湛蓝，是欣赏古城美景的最佳时机。此时，古城周边的树木逐渐变红，整个古城显得格外美丽。秋季也是旅游旺季，但相比夏季，人流量会相对较少。
冬季（12月-2月）：冬季是台儿庄古城的淡季，天气较冷，但古城依然有着独特的魅力。在寒冷的季节，您可以欣赏到古城内的冬日景观，体验冬季独特的宁静和静谧。不过，由于天气寒冷，适合游览的时间较短。
需要注意的是，虽然台儿庄古城在某些特定时间可能免费开放，但具体免费开放的时间可能会根据当地政策和活动安排有所变动。建议您在计划出行前，关注台儿庄古城的官方网站或当地旅游部门发布的最新消息，以便了解具体的免费开放时间和相关活动安排。此外，即便在非免费开放期间，台儿庄古城的景色和历史文化也是值得游览的。