上海东方明珠塔死亡事件中，遇难者家属的维权之路经历了以下几个阶段：
事件发生后，遇难者家属首先对东方明珠塔进行了调查，了解事故原因。家属发现，事故发生的原因可能与东方明珠塔的设施老化、管理不善有关。
遇难者家属随后向东方明珠塔所属公司提出了赔偿要求。家属表示，由于事故导致亲人离世，希望公司能够给予一定的经济补偿和精神抚慰。
然而，东方明珠塔所属公司对家属的赔偿要求予以拒绝。家属认为，公司在事故发生前对设施的管理存在严重疏忽，导致悲剧发生，因此要求公司承担相应责任。
遇难者家属委托律师，通过法律途径维护自身权益。律师表示，家属可以依据《侵权责任法》、《消费者权益保护法》等相关法律法规，要求东方明珠塔所属公司承担赔偿责任。
在律师的指导下，家属向法院提起诉讼，要求东方明珠塔所属公司支付死亡赔偿金、精神损害赔偿金等。法院在审理过程中，对事故原因、赔偿标准等方面进行了调查和审理。
法院审理后，根据相关法律法规和事故原因，判决东方明珠塔所属公司赔偿遇难者家属一定金额的赔偿金。赔偿金额包括死亡赔偿金、被抚养人生活费、精神损害赔偿金等。
判决生效后，东方明珠塔所属公司按照法院判决支付赔偿金。家属对赔偿金额表示满意，认为此次维权之路取得了阶段性的胜利。
事后，遇难者家属呼吁相关部门加强对旅游景点设施的安全监管，防止类似事故再次发生。
总之，在上海东方明珠塔死亡事件中，遇难者家属通过法律途径成功维权，维护了自身权益。同时，这一事件也提醒了相关部门和企业，要加强对公共场所设施的安全管理，保障人民群众的生命财产安全。