根据提供的参考信息，沂蒙山区观赏日出的最佳月份并没有直接给出。但是，从文中提到的气候特点和自然景观来看，可以推测出几个可能观赏到美丽日出的月份。

首先，沂蒙山区位于山东省，属于温带季风气候，春季（3月至5月）是沂蒙山区植被复苏、花开满山的季节。文中提到春季是沂蒙云瀑洞天旅游区的旅游旺季之一，花卉开始绽放，景色美丽。这个时期，山间云雾缭绕，日出时分的景象可能会非常迷人。

其次，秋季（9月至11月）也是一个观赏日出的好季节。秋季的天气通常晴朗，气温适中，植被色彩斑斓，这些条件都为观赏日出提供了良好的自然背景。

最后，文中提到的蒙山日出，有游客在凌晨5点登山观赏到云蒸霞蔚的壮美日出，这说明在清晨时刻，尤其是在气温较低、湿度较大的条件下，更容易出现日出时云雾缭绕的景象。

综上所述，春季和秋季可能是观赏沂蒙山区日出最美的月份。不过，具体的日出美景还受到天气状况的影响，建议在计划出行前关注当地的天气预报，选择晴朗或多云的天气前往，以增加观赏到美丽日出的机会。