根据上述参考信息，沂蒙山旅游的最佳月份取决于游客个人的偏好和期望的旅游体验：
春季（3月至5月）：这个季节的沂蒙山气候温和，植被繁茂，百花盛开，非常适合户外活动和欣赏自然美景。春季的沂蒙山游客相对较少，可以享受较为宁静的旅游体验。
秋季（9月至11月）：秋季的沂蒙山是色彩斑斓的季节，树叶变色，红叶满山，景色宜人。这个时期的气温适中，适合户外活动，且游客数量相对较少。
夏季（6月至8月）：夏季的沂蒙山气温适中，是避暑的好去处，同时也能看到野生动植物的活动。不过，由于是旅游旺季，游客数量较多，可能会有人流拥堵的情况。
冬季（12月至2月）：虽然冬季的沂蒙山较为寒冷，但是有独特的雪景和冰挂景观，适合喜欢冬季运动的游客。
综合考虑，如果希望避开人流高峰，享受较为宁静的旅游环境，那么春季和秋季是较为合适的选择。如果偏好避暑，则夏季也是一个不错的选择。而冬季则适合那些喜欢雪景和寒冷气候的游客。总的来说，沂蒙山四季各有特色，可以根据自己的兴趣和喜好选择最合适的旅游月份。